Un colombiano en las grandes ligas de las matemáticas

Imagine que tiene entre las manos una arepa. Perfectamente redonda, eso sí. ¿Cuántas veces la podría rotar sin que dejara de ser la misma arepa perfecta? Correcto: infinitas. Esa arepa cumple con una de las propiedades que más fascinan a los matemáticos: la simetría. Como cualquier círculo, tiene infinitas simetrías. No sucedería lo mismo con un cuadrado pintado en una hoja de papel. Un cuadrado tiene cuatro simetrías al rotarlo. Si, por ejemplo, no se gira 90 grados a la derecha o izquierda, traicionaría su simetría.

Un ejemplo más difícil: ¿cuántas simetrías tiene un balón clásico de fútbol, de los de pepas blancas y negras? Tiene 60 simetrías y claramente son más “complicadas”. Ahora imagine un mundo donde no existen las tres dimensiones que conocemos sino muchas más, decenas de ellas. ¿Qué cree que pasaría cuando un objeto entra a un espacio hipotético con más de tres dimensiones, digamos mejor, decenas de dimensiones? ¿Cuántas simetrías puede tener? ¿Qué tan “complicadas” pueden ser sus simetrías?

Esas son el tipo de preguntas a las que Sebastián Hurtado Salazar dedica su vida como matemático. Escuchó hablar sobre los conceptos básicos de las simetrías en los salones de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Nacional a donde llegó después de un periplo familiar por todo Colombia. Nació en Bogotá pero la pérdida y búsqueda de trabajo de sus padres lo llevó por Pasto, San Antero, en Córdoba, y Palmira, donde finalmente terminó el colegio. El asunto de las simetrías reapareció en algunas clases mientras estudiaba una maestría en el Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas, en Río de Janeiro. Pero fue durante el doctorado en la U. de Berkeley, en California, cuando las simetrías se convirtieron en una obsesión.

Algunos matemáticos se enamoran y se casan con un problema. Eligen uno que tal vez, piensan, los acompañará toda la vida. Si la suerte no juega a su favor, tal vez mueran sin la respuesta. Sebastián eligió la conjetura de Zimmer.

“Escuché sobre ese problema gracias a mi director de tesis. Antes me había interesado por un tipo de problemas parecidos a esos. Empecé a leer de qué se trataba. Era sorprendente. Comencé a pensar en el problema. Sabía que podía pasar muchos años en él. Tal vez toda mi carrera”, cuenta Sebastián durante una pausa de su rutina como profesor en la Universidad de Chicago.

Una conjetura es un juicio, una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada. Cuando alguien demuestra su veracidad pasa a un nivel de prestigio superior: teorema. La de Zimmer tiene que ver precisamente con la simetría de nuestro universo y de los fantásticos universos matemáticos.

Nace una nueva conjetura

En los años setenta llegó al departamento de matemáticas de la Universidad de Harvard un alumno, Robert Zimmer, que no logró destacarse lo suficiente para arrancar una buena carta de recomendación de sus maestros y granjearse una posición cómoda en las mejores universidades de Estados Unidos. Tuvo que conformarse con un trabajo de segundo orden en la Academia Naval. Un lugar que para muchos era, sencillamente, un desbarrancadero. Zimmer se había casado con un área de las matemáticas que le importaban poco a casi nadie: estudiaba la intersección entre dinámica (el estudio de repetidas transformaciones) y un área de álgebra conocida como teoría de grupos de Lie, que estudia la geometría y simetrías que aparecen comúnmente en física y matemáticas. Era como intentar mezclar peras con manzanas. Solo existían cuatro papers publicados sobre el tema.

Zimmer, un tipo disciplinado —“hay mucho tiempo en el día si lo usas todo”, suele decir—, supo responder a sus obligaciones en la Escuela Naval, pero también profundizar en su búsqueda matemática en jornadas diarias hasta la medianoche. Publicó unos 11 artículos en los primeros dos años. Mientras avanzaba en esa tarea, en 1978, el matemático ruso Gregori Aleksandrovich Margulis fue condecorado con la Medalla Fields, equivalente al Premio Nobel, por un trabajo similar al suyo.

Muy pocos matemáticos sabían lo que aquello significaba. Excepto Zimmer. “Es como si apareciera una estrella supernova pero nadie tiene un telescopio para verla, excepto Zimmer”, dijo Benson Farb, profesor de la U. de California, a Michael Lipkin, del The Chicago Maroon, en un ensayo sobre Zimmer.

Ahora que Margulis había llevado al nivel más alto el estudio de unas figuras geométricas conocidas como retículas, su rigidez, su simetría en diferentes espacios, Zimmer entendió que su camino sería un poco más fácil. En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1986 presentó las principales conclusiones de su trabajo. Desde entonces todos lo llaman “el programa Zimmer” y más de 100 matemáticos en el mundo se han involucrado.

El siguiente párrafo debería dar un atisbo de la complejidad del problema, esclarecer por qué lleva más de 30 años sin resolverse, por qué consumió durante cinco años, con sus días y noches, la mente de Zimmer y los días y noches de muchos otros matemáticos. Por qué Sebastián pensó que había elegido un problema que tal vez le tomaría toda su vida:

Para n >= 3, si Γ < SL(n, R) es una retícula y M es una variedad suave, si la dimensión de M es menor que n-1, cualquier homomorfismo de grupos Γ → Diff(M) tiene imagen finita.

Sebastián intenta traducir la conjetura al lenguaje de un periódico a pesar de saber muy bien que ese tipo de ideas se ven mejor vestidas con números y ecuaciones: “Cuando tienes un conjunto de ecuaciones, digamos solo con números, si tienes demasiadas ecuaciones y muy pocas variables, generalmente no hay solución o las soluciones son, en cierto sentido, obvias. El programa Zimmer es este tipo de problema, pero las variables no son solo números; son objetos geométricos complicados con muchos parámetros”.

Se supone que cuantas más dimensiones tenga un espacio geométrico, más simetrías podrá tener. “Puedes ver esto con el círculo, que existe en un plano bidimensional, y una bola, que se extiende en tres dimensiones: hay más formas de girar una bola que de girar un círculo. Las dimensiones extra de la pelota crean simetrías adicionales”, explicó Kevin Harnett en un artículo sobre el tema para la revista Quanta. La conjetura de Zimmer, explica Sebastián, preguntaba si la dimensión de un espacio geométrico limita un tipo de simetrías conocidas como retículas de alto rango. Y, para añadir complejidad al asunto, qué ocurre si esas simetrías se hacen más “flexibles” y no “rígidas”.

Sebastián retoma el ejemplo de la pelota de fútbol. “Así como existe un cuadrado con cuatro simetrías sobre un papel, en dimensiones más grandes existirían ciertos ‘objetos’, existirían pelotas de fútbol imposibles de imaginar para nosotros, con simetrías complejas”.

Sebastián sabía que necesitaba herramientas especiales para resolver el problema. Al igual que le sucedió a Zimmer con Margulis, durante una conferencia en Italia escuchó a Federico Rodríguez Hertz, colega de Aaron Brown, exponer sobre su trabajo y supo que podía ser una herramienta para meterle el diente a la conjetura. Antes de eso, desde que era estudiante en la Universidad de Berkeley, había cruzado algunos correos electrónicos con David Fisher, de la Universidad de Indiana y discípulo de Zimmer, ocupado en el mismo problema.

“Obviamente no era el único que pensaba en estas cosas”, aclara con modestia Sebastián. “Tuve la fortuna de conocer gente e ideas de otras personas que habían pensado sobre el problema. Hay muchos colegas muy inteligentes, y entonces empezaron a aparecer técnicas y formas de ver las cosas que ayudaron a ver que era posible resolverlo”.

“Estábamos en el lugar correcto en el momento adecuado”, le contó Aaron a Maureen Searcy, de la revista de la U. de Chicago. “Fue idea de Sebastián que los tres habláramos. Tenía algunas herramientas que pensó que serían útiles para aplicar a la conjetura de Zimmer, y el trabajo que he estado haciendo en los últimos años con otro grupo de coautores, Federico Rodríguez Hertz (Argentino) y Zhiren Wang en Penn State, terminó siendo una nueva idea poner todo junto”.

Parecía el tipo de conjetura que podría mantener a la gente ocupada durante bastante tiempo, pero como lo apuntó Amie Wilkinson, matemática de la Universidad de Chicago que a principios de este año organizó una conferencia sobre la nueva prueba: “De manera relativamente simple, demolieron la pregunta”.

Los tres matemáticos demostraron que, contrario a la ingenua intuición de pensar que las retículas de alto rango pueden desarrollar mucha simetría en esos espacios complejos, la verdad matemática es que no, aún en esos espacios complejos las retículas están restringidas en donde pueden actuar.

Hijo de la universidad pública

Sebastián intenta rehuir las preguntas personales. Insiste en que no tienen ninguna relevancia. No resulta difícil escarbar un poco en internet y descubrir que tuvo el mejor puntaje del Icfes de su colegio. Ocupó el segundo lugar en unas olimpiadas matemáticas nacionales. Fue el mejor examen Ecaes del país en matemáticas.

“Tuve una ventaja muy grande entre muchos de mis compañeros de la Nacional. Había mucha gente muy buena que tenía dificultades económicas. Vengo de una familia de clase media alta y no tenía que preocuparme tanto por muchas cosas. Muchos de mis compañeros tenían que trabajar o vivían lejos de sus familias. A diferencia de mis amigos, estuve en una situación que me permitió dedicar más tiempo al estudio y poder hacer el doctorado afuera. Perdona que recalque eso”, responde.

Félix Soriano, profesor asociado del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional y su director de tesis en el pregrado, lo recuerda como un estudiante “muy creativo, muy despierto, con mucha habilidad para las matemáticas. Muy por encima de lo normal. En Colombia no había visto otra persona como él”.

Una percepción que ratifica Germán Fonseca Buitrago, quien lo recibió en su curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias: “Sebastián era de lejos el mejor estudiante del curso, lo cual no era novedad, pues entre algunos colegas comentábamos las capacidades que él mostraba para las matemáticas en las diferentes disciplinas”.

“El logro de Sebastián es muy importante y algo muy único hasta ahora en el país”, responde Andrés Villaveces, también profesor de matemáticas en la Nacional.

Por su lado, Sebastián dice que le gustaría incentivar el amor por las matemáticas y la ciencia entre los jóvenes, “animarlos a darse la oportunidad de que traten alguna ciencia por algún tiempo. Es algo que ayuda mucho en la vida”. También a motivar a los padres “a incentivar a sus hijos a que participen en concursos de ciencias, olimpiadas de matemáticas, física y programación”.

¿Qué hace un matemático cuando resuelve antes de tiempo la conjetura a la que le iba a dedicar muchos años? “Cierra un ciclo y busca otros problemas. Ya tengo algunos”, responde.

Imagine que tiene entre las manos una arepa. Perfectamente redonda, eso sí. ¿Cuántas veces la podría rotar sin que dejara de ser la misma arepa perfecta? Correcto: infinitas. Esa arepa cumple con una de las propiedades que más fascinan a los matemáticos: la simetría. Como cualquier círculo, tiene infinitas simetrías. No sucedería lo mismo con un cuadrado pintado en una hoja de papel. Un cuadrado tiene cuatro simetrías al rotarlo. Si, por ejemplo, no se gira 90 grados a la derecha o izquierda, traicionaría su simetría.

Un ejemplo más difícil: ¿cuántas simetrías tiene un balón clásico de fútbol, de los de pepas blancas y negras? Tiene 60 simetrías y claramente son más “complicadas”. Ahora imagine un mundo donde no existen las tres dimensiones que conocemos sino muchas más, decenas de ellas. ¿Qué cree que pasaría cuando un objeto entra a un espacio hipotético con más de tres dimensiones, digamos mejor, decenas de dimensiones? ¿Cuántas simetrías puede tener? ¿Qué tan “complicadas” pueden ser sus simetrías?

Esas son el tipo de preguntas a las que Sebastián Hurtado Salazar dedica su vida como matemático. Escuchó hablar sobre los conceptos básicos de las simetrías en los salones de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Nacional a donde llegó después de un periplo familiar por todo Colombia. Nació en Bogotá pero la pérdida y búsqueda de trabajo de sus padres lo llevó por Pasto, San Antero, en Córdoba, y Palmira, donde finalmente terminó el colegio. El asunto de las simetrías reapareció en algunas clases mientras estudiaba una maestría en el Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas, en Río de Janeiro. Pero fue durante el doctorado en la U. de Berkeley, en California, cuando las simetrías se convirtieron en una obsesión.

Algunos matemáticos se enamoran y se casan con un problema. Eligen uno que tal vez, piensan, los acompañará toda la vida. Si la suerte no juega a su favor, tal vez mueran sin la respuesta. Sebastián eligió la conjetura de Zimmer.

“Escuché sobre ese problema gracias a mi director de tesis. Antes me había interesado por un tipo de problemas parecidos a esos. Empecé a leer de qué se trataba. Era sorprendente. Comencé a pensar en el problema. Sabía que podía pasar muchos años en él. Tal vez toda mi carrera”, cuenta Sebastián durante una pausa de su rutina como profesor en la Universidad de Chicago.

Una conjetura es un juicio, una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada. Cuando alguien demuestra su veracidad pasa a un nivel de prestigio superior: teorema. La de Zimmer tiene que ver precisamente con la simetría de nuestro universo y de los fantásticos universos matemáticos.

Nace una nueva conjetura

En los años setenta llegó al departamento de matemáticas de la Universidad de Harvard un alumno, Robert Zimmer, que no logró destacarse lo suficiente para arrancar una buena carta de recomendación de sus maestros y granjearse una posición cómoda en las mejores universidades de Estados Unidos. Tuvo que conformarse con un trabajo de segundo orden en la Academia Naval. Un lugar que para muchos era, sencillamente, un desbarrancadero. Zimmer se había casado con un área de las matemáticas que le importaban poco a casi nadie: estudiaba la intersección entre dinámica (el estudio de repetidas transformaciones) y un área de álgebra conocida como teoría de grupos de Lie, que estudia la geometría y simetrías que aparecen comúnmente en física y matemáticas. Era como intentar mezclar peras con manzanas. Solo existían cuatro papers publicados sobre el tema.

Zimmer, un tipo disciplinado —“hay mucho tiempo en el día si lo usas todo”, suele decir—, supo responder a sus obligaciones en la Escuela Naval, pero también profundizar en su búsqueda matemática en jornadas diarias hasta la medianoche. Publicó unos 11 artículos en los primeros dos años. Mientras avanzaba en esa tarea, en 1978, el matemático ruso Gregori Aleksandrovich Margulis fue condecorado con la Medalla Fields, equivalente al Premio Nobel, por un trabajo similar al suyo.

Muy pocos matemáticos sabían lo que aquello significaba. Excepto Zimmer. “Es como si apareciera una estrella supernova pero nadie tiene un telescopio para verla, excepto Zimmer”, dijo Benson Farb, profesor de la U. de California, a Michael Lipkin, del The Chicago Maroon, en un ensayo sobre Zimmer.

Ahora que Margulis había llevado al nivel más alto el estudio de unas figuras geométricas conocidas como retículas, su rigidez, su simetría en diferentes espacios, Zimmer entendió que su camino sería un poco más fácil. En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1986 presentó las principales conclusiones de su trabajo. Desde entonces todos lo llaman “el programa Zimmer” y más de 100 matemáticos en el mundo se han involucrado.

El siguiente párrafo debería dar un atisbo de la complejidad del problema, esclarecer por qué lleva más de 30 años sin resolverse, por qué consumió durante cinco años, con sus días y noches, la mente de Zimmer y los días y noches de muchos otros matemáticos. Por qué Sebastián pensó que había elegido un problema que tal vez le tomaría toda su vida:

Para n >= 3, si Γ < SL(n, R) es una retícula y M es una variedad suave, si la dimensión de M es menor que n-1, cualquier homomorfismo de grupos Γ → Diff(M) tiene imagen finita.

Sebastián intenta traducir la conjetura al lenguaje de un periódico a pesar de saber muy bien que ese tipo de ideas se ven mejor vestidas con números y ecuaciones: “Cuando tienes un conjunto de ecuaciones, digamos solo con números, si tienes demasiadas ecuaciones y muy pocas variables, generalmente no hay solución o las soluciones son, en cierto sentido, obvias. El programa Zimmer es este tipo de problema, pero las variables no son solo números; son objetos geométricos complicados con muchos parámetros”.

Se supone que cuantas más dimensiones tenga un espacio geométrico, más simetrías podrá tener. “Puedes ver esto con el círculo, que existe en un plano bidimensional, y una bola, que se extiende en tres dimensiones: hay más formas de girar una bola que de girar un círculo. Las dimensiones extra de la pelota crean simetrías adicionales”, explicó Kevin Harnett en un artículo sobre el tema para la revista Quanta. La conjetura de Zimmer, explica Sebastián, preguntaba si la dimensión de un espacio geométrico limita un tipo de simetrías conocidas como retículas de alto rango. Y, para añadir complejidad al asunto, qué ocurre si esas simetrías se hacen más “flexibles” y no “rígidas”.

Sebastián retoma el ejemplo de la pelota de fútbol. “Así como existe un cuadrado con cuatro simetrías sobre un papel, en dimensiones más grandes existirían ciertos ‘objetos’, existirían pelotas de fútbol imposibles de imaginar para nosotros, con simetrías complejas”.

Sebastián sabía que necesitaba herramientas especiales para resolver el problema. Al igual que le sucedió a Zimmer con Margulis, durante una conferencia en Italia escuchó a Federico Rodríguez Hertz, colega de Aaron Brown, exponer sobre su trabajo y supo que podía ser una herramienta para meterle el diente a la conjetura. Antes de eso, desde que era estudiante en la Universidad de Berkeley, había cruzado algunos correos electrónicos con David Fisher, de la Universidad de Indiana y discípulo de Zimmer, ocupado en el mismo problema.

“Obviamente no era el único que pensaba en estas cosas”, aclara con modestia Sebastián. “Tuve la fortuna de conocer gente e ideas de otras personas que habían pensado sobre el problema. Hay muchos colegas muy inteligentes, y entonces empezaron a aparecer técnicas y formas de ver las cosas que ayudaron a ver que era posible resolverlo”.

“Estábamos en el lugar correcto en el momento adecuado”, le contó Aaron a Maureen Searcy, de la revista de la U. de Chicago. “Fue idea de Sebastián que los tres habláramos. Tenía algunas herramientas que pensó que serían útiles para aplicar a la conjetura de Zimmer, y el trabajo que he estado haciendo en los últimos años con otro grupo de coautores, Federico Rodríguez Hertz (Argentino) y Zhiren Wang en Penn State, terminó siendo una nueva idea poner todo junto”.

Parecía el tipo de conjetura que podría mantener a la gente ocupada durante bastante tiempo, pero como lo apuntó Amie Wilkinson, matemática de la Universidad de Chicago que a principios de este año organizó una conferencia sobre la nueva prueba: “De manera relativamente simple, demolieron la pregunta”.

Los tres matemáticos demostraron que, contrario a la ingenua intuición de pensar que las retículas de alto rango pueden desarrollar mucha simetría en esos espacios complejos, la verdad matemática es que no, aún en esos espacios complejos las retículas están restringidas en donde pueden actuar.

Hijo de la universidad pública

Sebastián intenta rehuir las preguntas personales. Insiste en que no tienen ninguna relevancia. No resulta difícil escarbar un poco en internet y descubrir que tuvo el mejor puntaje del Icfes de su colegio. Ocupó el segundo lugar en unas olimpiadas matemáticas nacionales. Fue el mejor examen Ecaes del país en matemáticas.

“Tuve una ventaja muy grande entre muchos de mis compañeros de la Nacional. Había mucha gente muy buena que tenía dificultades económicas. Vengo de una familia de clase media alta y no tenía que preocuparme tanto por muchas cosas. Muchos de mis compañeros tenían que trabajar o vivían lejos de sus familias. A diferencia de mis amigos, estuve en una situación que me permitió dedicar más tiempo al estudio y poder hacer el doctorado afuera. Perdona que recalque eso”, responde.

Félix Soriano, profesor asociado del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional y su director de tesis en el pregrado, lo recuerda como un estudiante “muy creativo, muy despierto, con mucha habilidad para las matemáticas. Muy por encima de lo normal. En Colombia no había visto otra persona como él”.

Una percepción que ratifica Germán Fonseca Buitrago, quien lo recibió en su curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias: “Sebastián era de lejos el mejor estudiante del curso, lo cual no era novedad, pues entre algunos colegas comentábamos las capacidades que él mostraba para las matemáticas en las diferentes disciplinas”.

“El logro de Sebastián es muy importante y algo muy único hasta ahora en el país”, responde Andrés Villaveces, también profesor de matemáticas en la Nacional.

Por su lado, Sebastián dice que le gustaría incentivar el amor por las matemáticas y la ciencia entre los jóvenes, “animarlos a darse la oportunidad de que traten alguna ciencia por algún tiempo. Es algo que ayuda mucho en la vida”. También a motivar a los padres “a incentivar a sus hijos a que participen en concursos de ciencias, olimpiadas de matemáticas, física y programación”.

¿Qué hace un matemático cuando resuelve antes de tiempo la conjetura a la que le iba a dedicar muchos años? “Cierra un ciclo y busca otros problemas. Ya tengo algunos”, responde.